Composição de Movimentos

Composição de movimentos

Você está olhando de cima a carroceria de um caminhão que está em repouso. Sobre a carroceria uma bola está se movendo com velocidade, em relação à mesma, na direção e sentido indicados na figura. Essa velocidade é chamada de velocidade relativa.

Em seguida, o caminhão adquire movimento retilíneo e uniforme de direção horizontal e sentido para a direita, com velocidade  em relação à Terra.Essa velocidade é chamada de velocidade de arrastamento.

                               

Segundo o princípio da independência de movimentos (Galileu Galilei) a bola apresentará dois movimentos parciais: O primeiro em relação à carroceria () e o segundo, provocado pelo deslocamento do caminhão ().

A velocidade da bola em relação à Terra (vista por uma pessoa na Terra), que é chamada de velocidade resultante, será , tal que:

O que você deve saber

Exemplos clássicos:

 Um barco desenvolve velocidade própria (em relação à água) v_B=4m/s num rio em que a correnteza tem velocidade V_c=3m/s (velocidade da água em relação à margem). O rio tem largura de 100m. Pede-se:

a) A velocidade () do barco em relação à margem, quando ele sobe o rio.

Em módulo  ---  V=4 – 3  ---  V=1m/s (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, subindo o rio).

b) A velocidade () do barco (em relação à margem), quando ele desce o rio.

Em módulo  ---  V=4 + 3  ---  V=7ms (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, descendo o rio)

c) A velocidade () do barco em relação à margem sabendo que durante a travessia seu eixo se mantém perpendicular à mesma.

Em módulo  ---  V²=V_b² + V_c²  ---  V=√14 + 9  ---  V=5m/s (velocidade do barco visto por uma pessoa parada na margem do rio.

d) Qual é o tempo mínimo de travessia?

Esse tempo só ocorre quando o barco é colocado perpendicularmente à margem do rio (item anterior com V=5m/s).

V=ΔS/Δt  ---  5=100/ Δt  ---  Δt=20s  ---  lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da velocidade do barco e da largura do rio.

e) Determine, com o eixo perpendicular à margem, a distância que o barco percorre rio abaixo, ou seja, a distância XY (figura).

Essa distância é devida apenas à velocidade da correnteza de valor V_c=3m/s  ---  V_c=ΔS/Δt  ---  3=ΔS/20  ---  ΔS=XY=60m

f) Qual é a distância total que o barco percorre (distância PX) do item anterior?

Pitágoras  ---  (PX)²=60² + 100²  ---  PX=117m

g) Qual deve ser a velocidade () do barco em relação à margem de modo que a distância percorrida durante a travessia seja mínima? Que ângulo o barco deve estar inclinado em relação à perpendicular à margem?

Para que a distância percorrida seja mínima o barco deve atravessar o rio perpendicularmente, ou seja, pelo caminho PY (menor distância entre as margens) e, para que isso ocorra o barco deve estar posicionado conforme a figura abaixo. Assim, a velocidade resultante () deve ser perpendicular à margem de modo que  forme um ângulo β com , tal que:

Senβ=V_c/V_b  ---  Pitágoras  ---  V_b²=V² + V_c²  ---  4²=V² + 9  ---  V=√7=2,6m/s  ---  senβ=3/4  ---  β – arco cujo sem é  3/4

 Um esquiador está parado na neve e observa que os flocos de neve caem verticalmente com velocidade de 1,8km/h em relação ao solo. Em seguida, ele entra em movimento  horizontal para a direita com velocidade V=36km em relação ao solo. Calcule a velocidade V_fe dos flocos em relação ao esquiador.

Observe que a velocidade dos flocos quando o esquiador está parado, que é vertical, fica inclinada quando ele entra em movimento.

Movimento dos flocos em relação ao solo (movimento resultante)  ---  V_fs=7,2km/h=2m/s  ---  movimento do esquiador em relação ao solo (movimento de arrastamento)  ---  V_es=36km/h=10m/s  ---  é pedido o movimento dos flocos em relação ao esquiador V_fe (movimento relativo).

Aplicando Pitágoras  ---  (V_fe)² = (2)² + (10)²  ---  V_fe=10,2 m/s  ---  direção que os flocos de neve formam com a vertical  ---  

tgβ=V_es/V_fs=10/2  ---  β=arco cuja tangente é 5.

 Considere um carro se movendo numa estrada plana e horizontal com velocidade de intensidade V. As rodas desse carro rolam sem escorregar. O ponto 0 corresponde ao eixo da roda, que tem a mesma velocidade que o carro em relação ao solo, e velocidade nula em relação ao carro.

Observe que:

 O único ponto da roda que está em repouso em relação ao carro é o ponto 0 e que possui a mesma velocidade V que o carro.

 No movimento de translação, com o carro se movendo para a esquerda com velocidade de intensidade V, todos os pontos da roda nesse deslocamento também possuem velocidade V.

Devido à rotação em torno de 0, todos os pontos da periferia (parte externa) da roda devem ter a mesma velocidade de intensidade V, que é sempre tangente em cada ponto e orientadas no sentido de rotação da roda (no caso, anti-horário, pois o carro de desloca para a esquerda).

Efetuando a composição dos dois movimentos, de rotação e de translação:

Velocidade resultante nos pontos:

0  ---  V_R0=V  ---  A  ---  V_RA=2V  ---  B  ---  V_RB=√2V  ---  D  ---  C  ---  V_RC=0 (informação importante)  ---  D  ---  V_RD=√2V

 No caso de um disco estar deslizando com velocidade V, sem escorregamento, no sentido, por exemplo horário, a

 velocidade dos pontos A, do eixo (E) e de B, valem, respectivamente  ---  V_A=2V, V_E=V e V_B=0 (veja figura acima).

 Exemplos e exercícios sobre a utilização dos princípios acima:

- (AFA-SP) Considere uma pessoa que tem entre as palmas de suas mãos um cilindro de eixo C horizontal. Admita que em determinado instante as mãos da pessoa estejam dotadas de movimentos verticais, com a mão esquerda (mão A) descendo, com velocidade de intensidade 8,0 cm/s, e a mão direita (mão B) subindo, com velocidade de intensidade 12 cm/s, conforme representa o esquema.

Supondo que não haja escorregamento do cilindro em relação às mãos, determine no instante considerado as características (intensidade, direção e sentido) da velocidade do eixo C.

Observe nas figuras abaixo que devido somente à mão A o centro do cilindro desceria com V₁=4cm/s e que, devido

 somente à mão B ele subiria com V₂=6cm/s  ---  superpondo os efeitos provocados por cada mão você obterá o efeito resultante e o eixo C subirá com velocidade de intensidade V_c=2cm/s, direção vertical e sentido para cima.

- Trator de esteira

O trator de esteira é um trator comum, e a única diferença é que no lugar de ter pneus para se locomover foram colocadas esteiras, o que garante uma maior aderência ao solo, e ainda uma melhor distribuição de peso quando está sendo operado em solos onde a terra é solta, também em terrenos pantanosos. Possui grande facilidade de se mover em terrenos irregulares, não deslizam e, por esses motivos, também são utilizados como tanques de guerra

A figura representa um trator de esteira. Os roletes estão acoplados ao motor e giram em movimento circular uniforme com a mesma velocidade angular W. A diferença de velocidade relativa entre as partes da esteira é responsável pelo movimento do trator.

Em relação ao solo, o corpo do trator e cada um dos eixos de seus roletes que estão fixos no trator, avançam com velocidade V. Todos os pontos da parte superior da esteira se movem com velocidade 2V e todos os pontos da parte inferior da esteira, em contato com o solo, tem velocidade nula. Observe que ele não desliza porque todos os pontos da parte inferior da esteira estão em repouso em relação ao solo e que a velocidade dos pontos da esteira variam de zero até 2V.

- Exercício exemplo: O trator de esteira esquematizado na figura está em movimento retilíneo e uniforme para a direita,

com velocidade de módulo v. Suponha que não ocorra deslizamento da esteira em relação ao solo nem da esteira em relação aos roletes.

Os roletes são idênticos, possuem raio R=20cm e giram em torno dos respectivos eixos que estão acoplados ao motor, o qual gira o eixo de cada rolete com a mesma frequência.  

Sabendo que uma mancha M da esteira (indicada na figura) gasta 1 s para deslocar-se do ponto P até o ponto Q, e que nesse deslocamento ela percorre  8m em relação ao solo, calcule:

a) o valor da velocidade v do corpo do trator (que é a mesma que a de cada um dos eixos), bem como o comprimento d indicado na figura;

b) a frequência de rotação de cada rolete em relação ao trator. (considere π=3).

a) A mancha M da parte superior da esteira (assim como qualquer ponto da mesma) quando se move de P para Q, se

desloca com velocidade 2v em relação ao solo, percorrendo ∆S=8m, também em relação ao solo, no intervalo de tempo

∆t=1 s   ---  v=∆S/∆t  ---  2v=8/1  --- v=4 m/s=14,4 km/h (velocidade do corpo trator e de cada eixo de cada rolete)  ---  v=d/∆t  ---  4=d/1  ---  d=4m.

b) Em relação ao trator, todos os pontos da periferia de cada rolete giram com a mesma velocidade escalar (linear) v, que é a mesma que do trator v=4m/s  ---  numa volta completa  ---  ∆S=2πR=2x3x0,2  ---  ∆S=1,2m  ---  v=∆S/∆t  ---  v=∆S/T  ---  4=1,2/T  ---  T=0,3s (período, tempo que cada rolete demora para efetuar uma volta completa)  ---  f=1/T=

1/0,3 Hz  ---  f=(1/0,3)x60  ---  f=200rpm.

Baseado na figura abaixo, considere:

V_A=500km/h  ---  módulo da velocidade do avião em relação à Terra

V_V=100km/h  ---  módulo da velocidade do vagão em relação à Terra

V_B=3km/h  ---  módulo da velocidade de B em relação ao vagão

V_C=2km/h  ---  módulo da velocidade de C em relação ao vagão

D  ---  uma pessoa em repouso em relação ao vagão

P  ---  uma árvore

V_PL=80km/h ---  módulo da velocidade de PL em relação à Terra

Abaixo estão as velocidades relativas entre:

a) V e P  ---  V_VP=100km/h      b) B e V  ---  V_BV=3km/h     c) V e B  ---  V_VB=3km/h     d) B e D  ---  V_BD=3km/h   

e) D e P  ---  V_DP=100km/h      f) B e C  ---  V_BC=5km/h      g) C e B  ---  V_CB=5km/h      h) D e PL  ---  V_DPL=20km/h

i) V e A  ---  V_VA=600km/h      j) B e P  ---  V_BP=103km/h   l) P e C  ---  V_PC=98km/h     m) B e PL  ---  V_BPL=23km/h

n) B e A  ---  V_BA=603km/h     o) C e PL  ---  V_CPL=18km/h    p) A e C  ---  V_AC­=598km/h